수학이야기

미적분기원

미적분학의 기본적인 개념의 기하학적 의미는

정적분(定積分) - 면적 - 구적법(求積法)
도함수(導函數) - 접선 - 접선법(接線法)

으로 이해되고 있다.

흔히 면적의 개념을 써서 정적분을 정의하는 것처럼 보이지만, 사실은 정적분을 써서 곡선의 길이, 도형의 면적, 체적 등이 정의되는 것이다. 또 부정적분은 정적분의 특수한 경우로서, 정적분을 구하기 위한 수단 중의 하나로 이해된다. 미적분학의 역사에서는 적분이 먼저 나타남에 유의해 둘 필요가 있다. 고대 그리스 시대에 이미 구적법에서의 수많은 문제가 해결되고 있는데, 적분의 아이디어는

구적법에서의 총합을 구하는 과정에서 얻은 것이다.

접선이나 극치를 다루는 접선법은 17세기 초에 유럽에서 나타나 여러 가지 문제에 적용되었는데, 이것이 미분법의 기원이 된다.
뉴튼과 라이프니츠가 미적분법을 발견하였다는 것은 사실과 다르며, 다만 이들이 구적법의 문제가 미분법의 문제의 역임을 지적하여 서로 독립적으로 발전되어 두 분야 사이의 관계를 확립하고 또 일반적인 계산법과 기호법을 도입한 것이라 할 수 있다. 여하간 이들의 업적은 역사상 너무나 획기적이어서, 후에 17세기를 인류정신사의 영웅적 시대라 부르게 되었다.

미적분의 발견

미분법은 계속적인 변화를 다루는 수학이다. 우리는 여러 현상이 끊임없이 변화하고 있는 것을 본다. 날아가는 새들을 보면 그것들의 방향과 속도, 고도가 수시로 변하며 순간순간 이리저리 날아간다. 바람의 방향과 속도, 나날의 온도와 기압, 그 밖의 자동차나 선박, 비행기 등도 그 때 그 때 흐름의 상태가 변하고 있다.

 이 변화의 본질을 외면하고는 과학이 더 이상 발전할 수 없음을 인식하게 되자 16세기경부터 많은 수학자들이 개별적으로 이것의 연구에 참여하였다. 마침내 미분법과 그것의 역산인 적분법이 위대한 과학자이며

수학자인 뉴턴에 의하여 17세기 후반에 발견되었는데 그의 운동법칙의 발견에 비하면 작은 업적이나 이것만으로도 그는 엄청난 공헌을 하였다.

10년 뒤에 독일의 라이프니츠(1646∼1716)도 독립적으로 미분법을 발표하였는데 두 이론이 일치하였다. 그것이 성취되기 전 파스칼이나 토리첼리, 드 로베르발, 데사르크스, 페르마 바로(뉴턴의 스승이자 동료), 월리스, 그레고리 같은 수학자들도 미분법의 기초를 닦는 데 기여한 것을 잊어서는 안 된다.

 "파스칼의 논문을 읽다가 문득 미분법의 방법이 머리에 떠올랐다."고 라이프니츠는 후에 진술하고 있다.

◆ 미적분학의 발달

의심할 바 없이 17세기의 가장 주목할 만한 수학적 업적은 세기말로 접어들면서 뉴턴과 라이프니츠가 만든 미적분학이다. 이 발명으로 창조적인 수학은 고등 수준으로 올라서고 기초수학의 역사는 본질적으로 마감됐다.
고등학교나 대학 교양수학에서 미분을 먼저 시작하고 다음에 적분을 공부하는 관습적인 순서와는 반대로, 역사적으로는 적분학의 착상이 미분학보다 먼저 발달되었다.

적분학의 착상은 어떤 면적이나 체적, 호의 길이 등을 구하는 것과 관련한 합의 과정에서 처음 떠올랐으며, 그보다 약간 늦게 미분학은 곡선의 접선에 관한 문제와 함수의 최대 최소에 관한 문제로 인하여 창조되었다. 그러고 나서 적분과 미분이 서로 역연산의 관계에 있다는 사실이 밝혀졌다.

미적분학의 발견에 대한 뉴턴-라이프니츠 논쟁은 서로 독립적으로 발전 시켰다는 의견으로 귀결되었다. 미적분학의 발견은 뉴턴이 먼저, 결과의 출시는 라이프니츠가 먼저하였다.

영국의 월리스와 배로는 뉴턴의 미적분학에 영향을 미쳤는데, 미적분학의 발전에 대한 월리스의 주요 공헌이 적분론에 있는 반면에 배로의 가장 중요한 공헌은 미분론에 관련된 것이다.
뉴턴에 의하여 1671년 오늘날 미분학으로 알려진 <유율법,Method of Fluxions> 이 쓰여졌다. 이 논문에서 뉴턴은 곡선을 점의 연속적인 운동에 의하여 생성되는 자취로 고찰하였다.

이 개념에서 변량(fluent)은 변하는 양, 유율(fluxion)은 변량의 변화 비율, 주유율(pricipal fluxion)은 어떤 변량의 일정한 증가율, 모멘트(moment)는 하나의 변량이 시간이 0인 무한히 작은 구간에서 증가하는 양으로 고찰되었다. 변량으로 부터 유율을 구하는 것은 미분이며 유율로부터 변량을 구하는 것은 적분이다.

뉴턴은 유율법을 수없이 그리고 놀랄 만큼 응용하여 극대와 극소, 곡선의 접선, 곡선의곡률, 변곡점, 곡선의 요철 등을 결정하고, 그의 이론을 수많은 구적법과 곡선의 길이를 구하는 문제에 적용하였다.

미적분법의 발명에서 뉴턴의 경쟁자였던 라이프니츠는 1673년과 1676년 사이에 미적분학을 고안하였다. 그가 카발리에리의 불가분량의 합을 나타내는 라틴어 summa (합)의 첫 문자를 딴 S를 길게 늘인 문자로서 현대 적분 기호인 ∫를 처음 사용하였다. 미분학에 관한 최초 논문은 1684년이 되어서야 발간되었다. 이 논문에서 그는 dx를 임의의 유한 구간으로 소개하고 나서 dy를 다음과 같은 비에 의하여 정의하였다.

출처- 네이버지식인