함수의 역사

 

 

 

 

 

함수라는 용어가 수학에서 쓰여진 것은 17세기였으며, 함수의 개념은 라이프니츠(Leibniz, G.W.;1646-1716, 독일)에 의하여 처음으로 확립되었다.

17세기 이전에도 프톨레마이오스(Ptolemaeos, K.; ?-?, 그리스)에 의해서 만들어진 삼각 함수적인 표가 있었다. 이것은 함수 개념의 발달에 필요한 운동, 변화, 무한성이라든지, 두 양 사이의 상관적인 관계를 통한 법칙성의 발견이라는 입장에서 다루고자 하는 의도는 없었던 것이다. 또한 르네상스 이후에 코페르티쿠스(Copermicus; 1473-1543,폴란드), 케플러(Kepler, J.;1571-1630, 독일), 갈릴레이(Galilei, G.; 1564-1642, 이탈리아)등은 이미 그리스 수학에서, 운동이나 무한에 대해서 회피하였던 것을 운동이나 무한은 물론 상관에 대해서도 파악하고자 노력하였다. 그러나, 이들 대부분은 관찰이나 실험이 주된 것이어서, 수학의 분양에 있어서 논리적으로 확히 다루어진 것은 아니었다.
라이프니츠는 '변수 x의 값의 변화에 따라서 다른 변수 y가 정해진다면, y를 x의 함수'라고 정의하였고, 함수와 곡선을 같은 것으로 보아 곡선이 함수를 규정하는 것이라고 생각하였다.
그 후, 1694년에 함수라는 것은 방정식에 의하여 표시되는 사실이라고 주장하게 되었고, 함수 관계를 그림이나 식의 어느 쪽으로 나타내어도 무방한 것이라는 태도를 취하게 되었다. 그러나, 그의 연구 방법은 주로 기하학적인 것이어서, 그림을 통한 직관적인 판단이 선행되었으므로 논리적 엄밀성이 결여되었고, 증명도 완벽하지 못하였으며, 함수라는 용어도 막연한 것이었다. 18세기에 들어서서 역학을 다루는 범위가 광범위하여 지자, 탄성체, 유체와 같은 연속체의 역학과 그에 따른 천체 역학 등이 탄생되니 여러 문제를 해결하기 위하여 미적분의 연산에 대한 짜임새를 최대한으로 활용하기에 이르러 외형적으로는 현재의 해석학과 비스소한 단계까지 발달되었으며, 자연과학에 있어서 강력한 도구로서의 역할을 하게 되었다.

18세기의 가장 위대한 수학자인 오일러(Euler, L.;1707-1783, 스위스)는 '변수와 상수에 의해서 만들어지는 해석적인 식'이라고 함수를 정의하여, 함수를 그림과는 분리된 해석적인 표현을 하게 되었으나, 오일러는 임의 함수를 정한 것이나 실제로는 해석적인 함수에 한정되어 있었다. 19세기는 종래의 해석적인 함수에 대한 비판적인 시기였다.

디리클레(Dirichlet, P.;1805-1859, 프랑스)는 '두 변수 x, y에 있어서 x의 값을 정하면 그에 따라서 y의 값이 정하여질 때, y는 x의 함수이다.'라고 함수를 정의 하여, 라이프키츠의 함수에 대한 개념을 뒤덮고 함수는 식 표시 이전의 것이라는 데에 처음으로 주목하였다. 그는 분명히 y를 식으로 나타낸다는 종래의 입장을 벗어나 대응이라는 생각을 표면에 들어내고 있다. 오늘날에는 그의 정의를 더욱 발전시켜서 곡선이 먼저이고 그것에 의하여 함수가 정하여지는 것으로 생각하게 되었다.

1. 함수의 그래프의 역사
함수의 역사

함수야 말로 우리의 주변 현상의 모든 것을 수학적으로 설명하는 법칙이나 규칙을 연구 표현하게 되는 매우 중요한 수단이 되고 있다. 이러한 함수를 좌표평면에서 그래프로 나타내기를 시도한 사람은 데카르트(Descartes, R. 1596-1650)이다. 그는 창조적인 아이디어로 기하학과 해석학을 하나로 묶는 오늘날의 해석기하학을 창시했다. 그의 아이디어는 기하학적 내용을 대수적 방정식으로 나타내어 그 결과를 기하학적으로 다시 번역하는 것이다. 또한 함수의 개념을 명확히 곡선의 방정식으로 나타내는 획기적인 표현법을 마련한 것이다. 이것의 본질은 좌표 (x,y)라는 개념을 도입하여, 직선에 의한 양수와 음수를 표현함으로써 기하학과 대수학이라는 이질적인 것을 하나로 통합하는 계기가 되었다. 또한 대수적 방정식을 그래프로 나타내어 직관적으로 파악하는 것이 가능하게 하였다.


2. 1차함수와 2차함수의 역사

갈릴레오(Galileo, 1564-1642)는 여러 가지 운동을 연구하는 중에 "비례"라는 단어를 사용하여 일차함수의 개념으로 표현하고 있다. 그는 등가속도 운동과 같은 변화하는 물리적인 현상을 이차함수를 사용하여 시간과 거리의 관계로 파악하기 위해 노력하였다.

갈릴레오의 관찰에 의하면 높이가 같고 기울기가 다른 경사면을 따라 어떤 물체가 내려올 때 걸리는 시간은 경사면의 길이에 비례한다. 또한 등가속도 운동을 하는 물체가 움직인 거리는 그 거리까지 움직이는데 걸린 시간의 제곱에 비례한다. 이것을 식으로 표현하면 시간을 t , 경사면의 길이를 m , 거리를 s라 할 때

t = am
s = bt^2(t의 제곱)

으로 나타낼 수 있다(a, b : 상수). 이것이 1차함수, 2차함수의 실제적인 표현이다.